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L'idée de la démonstration par récurrence serait la suivante :
1) la conjecture est vraie pour tous les nombres pairs inférieurs à un certain nombre premier  .2) si la conjecture est vraie pour tous les nombres pairs inférieurs au nombre premier , elle est alors vraie pour tous les nombres pairs compris entre le nombre premier et le nombre premier suivant  .Intéressons-nous à des tableaux de la forme suivante :
On peut considérer de tels tableaux comme constitués de deux réglettes, que l'on fait glisser l'une par rapport à l'autre, la réglette du haut contenant les nombres écrits dans l'ordre croissant de droite à gauche alors que la réglette du bas les contient dans l'ordre croissant de gauche à droite (cette idée a aussi été celle de Laisant, voir dans la bibliographie). Dessinons le tableau correspondant à une somme des deux éléments égale à 23 dans chaque colonne.
Pour trouver les décompositions de 24 dans ce tableau, il faut faire "glisser" la réglette du haut d'un cran vers la droite alors que pour trouver les décompositions de 22, il faut tirer la réglette du haut d'un cran vers la droite. Pour trouver les décompositions de 26, il faut tirer la réglette du haut de 3 crans à droite (celles de 20 de 3 crans à gauche), et pour trouver celles de 28, il faut tirer la réglette du haut de 5 crans à droite (alors que celles de 18 sont 5 crans à gauche). Le fait de trouver dans une même colonne deux nombres premiers l'un au dessus de l'autre après avoir tiré la réglette à droite "provient" du fait que dans la configuration initiale des réglettes, il y avait des nombres premiers dans des positions en symétrie-miroir du bon nombre de crans ; c'est cette propriété de symétrie-miroir qui permettrait de passer des décompositions Goldbach des nombres pairs inférieurs à un nombre premier donné à celles des nombres pairs supérieurs à ce nombre premier. On dit que le couple (19,3) est en symétrie-miroir du couple (17,7), que (19,11) est en symétrie-miroir de (13,3) Démontrer la conjecture consiste donc à démontrer que ces configurations de nombres premiers en symétrie-miroir existent toujours. |