Un professeur m'a expliqué que tant que je n'adoptais pas une méthode constructive, mon entreprise était vouée à l'échec : il ne s'agirait pas de faire une démonstration par l'absurde (pour démontrer qu'il est impossible que la conjecture soit non vérifiée) mais d'exhiber directement une solution pour chaque nombre pair qui ferait que ce nombre vérifie la conjecture. D'un point de vue logique, il faut écouter la conférence de Jean-Yves Girard à l'adresse http://www.dma.ens.fr/culturemath/actu/livres.htm ; dans la logique intuitionniste, Girard préconise d'"éviter" d'utiliser la "démonstration par l'absurde".

Je cherchais donc à "exhiber" un nombre premier solution Goldbach d'un nombre pair 2x donné. On se rappelle que l'on cherche un nombre premier, inférieur à x, et incongru à 2x selon tout module compris entre 2 et x.

Un tel nombre premier est à rechercher parmi les nombres premiers qui divisent les nombres "autour de 2x" ; en effet, 2x-1, 2x-2, 2x+1, 2x+2 ont toutes les chances d'avoir un diviseur premier qui vérifie les propriétés recherchées. Ci-après, on associe aux nombres pairs de 6 à 100 le nombre de valeur absolue la plus petite possible dont un diviseur fournit une décomposition Goldbach de 2x. Ce nombre vaut 0 si 2x est le double d'un nombre premier ; il vaut -1 si l'un des diviseurs premiers impairs de 2x-1 est solution, -2, si l'un des diviseurs premiers impairs de 2x-2 est solution, +1 si l'un des diviseurs premiers impairs de 2x+1 est solution, +2 si l'un des diviseurs premiers de 2x+2 est solution. Et on peut constater qu'il "ne faut pas aller chercher bien loin" pour trouver des décomposants Goldbach.

C'est un peu comme si on positionnait une petite fenêtre centrée sur 2x et qu'on cherchait les décomposants Goldbach parmi les diviseurs des nombres de cette fenêtre. Il était déjà beaucoup question de fenêtres dans la note sur les fractales.
Maintenant qu'on a enfin compris ce que signifiait "démonstration constructive", il reste tout de même à démontrer effectivement que la largeur de la fenêtre est toujours inférieure à x.
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 100
0 +1 0 -2 0 -1 +2 +1 0 +1 0 +2 -2 +1 0 -1 0 -1 -2 +1 0 +1 -1 -2 +1 +1 0 -2 0 -1 -1 +2 -1 -2 0 -1 -1 -2 0 +1 0 -1 +1 -1 0 +2 -3 -1