Il faut peut-être revenir à la notion simple de division euclidienne : un nombre premier p est un décomposant de Goldbach d'un nombre pair 2x (i.e. son complémentaire 2x-p est premier) si et seulement s'il ne "partage" aucun reste de division euclidienne avec lui.
Ecrit autrement :
SI on écrit toutes les divisions euclidiennes de 2x par les nombres premiers inférieurs à x (par convention de notation, ils sont en nombre Pi(x)) sous la forme :
2x = a.p_1+r_1
2x = a'.p_2+r_2
2x = a''.p_3+r_3
.....
2x = a''''''.p_Pi(x)+r_Pi(x)

ET SI, d'autre part, on écrit toutes les divisions de tous les nombres premiers inférieurs à x par les nombres premiers inférieurs à x sous la forme :
p_1 = 1.p_1 (r_11 = 0)
p_1 = k_1.p_2+r_12
p_1 = k'_1.p_3+r_13
...
p_1 = k'''''.p_Pi(x)+r_1Pi(x)
et idem pour p_2,
et idem pour p_3,
et idem jusqu'à p_Pi(x)

ALORS
il existe un p_i qui n'a aucun reste commun avec 2x (son r_i1 est différent de r_1, son r_i2 est différent de r_2, ..., son r_iPi(x) est différent de r_Pi(x)).