Dans une biographie de Hilbert, on trouve que "Hilbert affirme la résolubilité de tout problème mathématique". Il écrit "Jamais le mathématicien ne sera réduit à dire Ignorabimus". Cette conviction lui fait dire à Klein : "Il vous faut avoir un problème. Choisissez un objectif déterminé et marchez franchement vers lui. Vous pourrez ne jamais atteindre le but mais vous trouverez sûrement quelque chose d'intéressant en chemin." On trouve sur la toile que la conjecture de Goldbach, comme la conjecture des nombres premiers jumeaux fait partie du 8ème problème de la liste de 23 problèmes de Hilbert et qui concerne la démonstration de l'hypothèse de Riemann.
Cantor a travaillé sur la conjecture de Goldbach en 1894 et en a publié une table de vérification jusqu'à 1000 au congrès de l'AFAS. Quand on étudie ses travaux, on peut essayer d'imaginer la manière dont il aurait peut-être abordé le problème :
L'ensemble des nombres pairs ayant l'une de leurs décompositions Goldbach faisant intervenir 3 est infini dénombrable (3+3=6, 3+5=8, 3+7=10, 3+11=14,...).
De même, l'ensemble des nombres pairs faisant intervenir 5 dans l'une des décompositions Goldbach est également infini dénombrable : 5+5=10, 5+7=12, 5+11=16,...).
Et de même pour chacun des ensembles de nombres pairs engendrables par chacun des nombres premiers.
Si on fait l'union de tous ces ensembles infinis dénombrables, on obtient un ensemble infini dénombrable, qu'on peut mettre en bijection avec N, l'ensemble des entiers naturels. Les intersections de ces ensembles sont parfois non vides : 3+7=5+5, par exemple.
L'ensemble des nombres pairs est aussi en bijection avec l'ensemble des entiers naturels.
Pour autant cela entraîne-t-il que l'on ne "rate" pas d'entiers ?
Il faut associer à chaque entier un ensemble de fractions rationnelles.
Habituellement, pour savoir si un nombre est premier, on le divise par tous les nombres premiers inférieurs à sa racine et si les résultats de toutes ces divisions sont des rationnels non entiers, on en déduit que le nombre est premier.
Au début de ce travail, j'avais pour habitude d'associer à un nombre entier impair (les pairs étant trivialement non premiers) un autre ensemble de fractions rationnelles pour savoir s'il était premier. Imaginons en effet que l'on ne connaisse pas les nombres premiers inférieurs à un nombre donné. Un nombre entier impair p est premier si toute fraction rationnelle dont le numérateur est un nombre i variant de 1 à (p-3)/2 et dont le dénominateur est égal à p-2i est une fraction rationnelle non entière.
Par exemple, on associe au nombre 9 l'ensemble des fractions rationnelles { 1/7, 2/5, 3/3 } et 9 n'est donc pas premier puisque la fraction rationnelle 3/3 est entière. De la même façon, on associe au nombre 11 l'ensemble des fractions rationnelles { 1/9, 2/7, 3/5, 4/3 } et 11 est un nombre premier parce que toutes les fractions rationnelles de l'ensemble en question sont non entières.
Maintenant qu'on a étudié toutes les symétries des tables de congruence et les équations rationnelles qui permettent de trouver les nombres premiers qui sont décomposants Goldbach d'un nombre pair donné (Cf la note "noel2006.pdf", paragraphe "La géométrie des nombres de Minkowski" et "Equations rationnelles de droites affines dont on cherche des solutions entières", on a découvert une autre façon de caractériser les nombres premiers et qui est en quelque sorte le "pendant" de celle évidente dont on se servait initialement que l'on va expliquer ici : il s'agit d'associer à un nombre impair p un ensemble de (p-3)/2 fractions rationnelles dont le numérateur est un nombre impair variant de 1 à p-4 et le dénominateur est un entier variant de (p-1)/2 à 2.
Cette application fait associer à 9 l'ensemble des fractions rationnelles { 1/4, 3/3, 5/2 } et 9 n'est donc pas premier à nouveau parce que la fraction rationnelle 3/3 est entière. De la même façon, on associe au nombre 11 l'ensemble des fractions rationnelles { 1/5, 3/4, 5/3, 7/2 } et 11 est un nombre premier parce que toutes les fractions rationnelles de l'ensemble en question sont non entières.
A la suite de cela, si l'union d'ensembles dépendante du nombre p impair ci-dessous ne contient que des fractions rationnelles non entières, alors p et p+2 sont des nombres premiers jumeaux.
Les programmes de vérification en C++ qui permettent de vérifier que ces équations rationnelles ont bien comme solutions entières soit des nombres premiers, soit les décomposants Goldbach d'un nombre pair donné, soit les nombres premiers jumeaux peuvent être trouvés sous l'onglet "Des notes et puis un jour l'Harmonie" de la page d'accueil du site. Cantor aurait peut-être trouvé tout ça esthétique...
