|
Gauss a démontré de multiples façons ce théorème appelé "loi de réciprocité quadratique" qu'il appelait le "théorème d'or".
On s'intéresse aux restes modulaires selon un module p des carrés des nombres de 1 à p-1. D'abord, il y a une sorte de "symétrie-miroir" entre les nombres : le reste du carré de 1 modulo p est égal au reste de p-1 modulo p, le reste du carré de 2 est égal au reste de p-2, etc. Ensuite, si p est premier, les nombres se séparent exactement en deux classes, ceux que Gauss appelle les résidus quadratiques (égaux au reste d'un carré) et ceux qu'il appelle les non-résidus. Présentons cela dans des tableaux. Dans les deux premières lignes, on range les nombres de 0 à p. dans la troisième ligne, on écrit les restes des carrés des éléments de la colonne (puisqu'ils sont égaux). Enfin, on souligne les nombres des deux premières lignes qui apparaissent dans la troisième ligne (ce sont les résidus). On fera un tableau correspondant à un nombre premier de la forme 4n+3 (19), et un tableau correspondant à un nombre premier de la forme 4n+1 (29).
On voit que pour 19, dans chaque colonne, il y a exactement un résidu et un non-résidu tandis que pour 29, dans chaque colonne, soit les deux éléments sont résidus tous les deux, soit les éléments sont non-résidus tous les deux. L'énoncé de la loi est le suivant : Soient p et q des entiers premiers impairs : - si l'un au moins est de la forme 4n+1, alors p est résidu quadratique de q si et seulement si q l'est de p ; - si p et q sont tous deux de la forme 4n+3, alors p est résidu quadratique de q si et seulement si q n'est pas résidu quadratique de p. |